Algebra, WS 2009 by Martin Goldstern

By Martin Goldstern

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Sei K ein K¨ orper, und sei V die Klasse der K-Vektorr¨aume. ) Sei V ∈ V, B ⊆ V . Dann gilt: V ist frei u ¨ber B ⇔ B ist Basis von V . Beweis. Sei B Basis von V . Dann l¨ asst sich jeder Vektor v ∈ V eindeutig als Linearkombination v = i λi bi von Elementen von B darstellen. Sei f : B → W eine Abbildung von B in einen beliebigen K-Vektorraum W , dann ist die Abbildung i λi bi → λi f (bi ) i erstens wohldefiniert auf ganz V , zweitens linear, daher drittens ein Homomorphismus von V nach W , und viertens eine Fortsetzung der Abbildung f .

C) π → [0]π = I → π, I → π → [0]π = I (analog zum entsprechenden Beweis f¨ ur Normalteiler). 40 Ist I Ideal von R, dann ist die Faktoralgebra (R/I, +, I, −, ·) ein Ring, genannt der Faktoroder Restklassenring von R modulo I. Die Operationen in R/I sind: (x + I) + (y + I) = (x + y) + I (deckt sich mit der Komplexsumme A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B}), (x + I)(y + I) = xy + I (deckt sich nicht mit dem Komplexprodukt AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B}), −(x + I) = (−x) + I, 0 + I = I ist Nullelement. 49 Beispiel.

Un . i) Die oben definierte Abbildung ϕ : U1 × · · · × Un → G, (u1 , . . , un ) → u1 · · · un , ist bijektiv und b) ii) f¨ ur 1 ≤ i < j ≤ n, x ∈ Ui , y ∈ Uj gilt stets xy = yx. Beweis. a) ⇒ b): i) gilt, da ϕ Isomorphismus. Zu ii): F¨ ur x ∈ Ui , y ∈ Uj , 1 ≤ i < j ≤ n gilt xy = ϕ(e, . . , e, x i−te Stelle = ϕ((e, . . , e, , e, . . , e) · ϕ(e, . . , e, x , e, . . , e) · (e, . . , e, y j−te Stelle , e, . . , e) · (e, . . , e, y y , e, . . , e)) = , e, . . , e) = j−te Stelle = ϕ(e, . .

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